把整个数学里讨论得最多的“不变性”，Felix Klein 用那句名言点明了它的重要性。他说，几何学其实是在变换群作用下不变的量。Klein 是个搞群论的，他的想法让后来的几何流有了理论基础——只要研究的对象在群的作用下不变，就能用群论把它的演化方程精准地刻画出来。 仿射微分几何是研究李群作用下线性变换加上平移保持不变的那些东西。而中心仿射几何，它只考虑保原点的变换组成的那个子群。更严格一点的中心等仿射几何，还要求体积不变，也就是只包含保体积的线性变换。 当一个演化的偏微分方程有对称群时，这个群就把所有在它作用下保持不变的子流形给“锁死”了。如果 S(t) 是方程的解，群里随便拿出一个元素 g 来作用，新的 S(t) 也肯定是解。这就像是几何流被群论语言给绑住了，只能走一条固定的轨道。 Gage 和 Hamilton 搞出了一个东西叫 CSF，就是平面曲线收缩流。他们证明了只要是闭凸曲线，都会在有限时间内缩成一个点。Grayson 把结果往深了挖了挖，发现非凸的曲线也会先变凸再变圆，最后也是一样会崩塌。 Mullins 最早把 CSF 当成晶粒边界运动的模型来用。到了高维空间里，MCF 登场了。Brakke 在测度理论框架里搞出了 MCF，Huisken 用最大值原理证明了存在性。Chow 和 Andrews 还在高斯曲率流这块儿补上了一块。 Sapiro 和 Tannenbaum 把 ACSF 给引进来了。Angenent 证明了闭凸曲线会缩成椭圆点。Andrews 把这个结果推广到了超曲面上。Loftin 和 Tsui 还把那种古代的解给分类完了。这下子，仿射几何里的那种“归一化”路径就算是彻底打通了。 这趟旅程里还发生了一件意外的事，中心仿射热流居然和 Burgers 方程碰了个面。在欧氏几何和仿射几何里，热流都是二阶非线性抛物型方程；但到了中心仿射几何这儿就不一样了，它变成了一阶非粘性 Burgers 方程。 在《中国科学：数学》那篇文章里，“Invariant hypersurface flows in centro-affine geometry”给了我们很多新东西。文章推导出了完整的中心仿射超曲面热流方程，还证明了存在唯一性并给出了显式解。椭圆点、抛物线这些特殊曲面的演化过程也被举例子展示了出来。 不过现在看来，中心仿射几何里的完全非线性偏微分方程还有好多没解决的问题等着我们去填坑呢。不管是孤立子、对称性还是稳定性，每一步都可能有新的数学结构冒出来，或者给物理应用带来新的启示。