既然我们通过把无数题目归约到同一个核心问题，就等于拿到了解开整条知识链的钥匙，那就让我们先从一个看似“丑陋”的函数出发，看看能不能把数学的美感给挖出来。今天咱们要练的这道“万金油”题，就是要算y等于a倍的sinx再加上sin2x的最大值，不管a是什么实数都行。它老喜欢以高考选择题或者解析几何大题的身份出现，特别是2018年全国一卷那道填空题里a等于2的情况，简直成了热搜词。 面对这种“a任意”的大难题，最顺手的办法就是先换元再求导。咱们不妨把t设成sinx，这样式子就变成了y等于at加上2t的平方，也就是t的平方加at。这下好了，这变成了一个关于t的一元二次函数。求它的最大值其实就这么回事：开口向上的时候顶点是最高处；开口向下的时候就看边界在哪了。 咱们分情况讨论一下：当a大于等于0时，对称轴t等于负的a除以2会小于等于0，这时候函数在[-1,1]上是一直往上走的，最大的值肯定是在t等于1的地方；要是a小于0呢？对称轴就跑到0的右边去了，函数在[-1,-a/2]是往下掉的，在[-a/2,1]又往上长了一截。这时候就得比较一下t等于-a/2和t等于1哪个更大，结果就是M(a)等于1和-a/2里面较大的那个。 这答案算出来之后还有三点感悟值得说道说道：第一，数学确实是美的。咱们找到了变量到结果的精准映射。别看原来的函数看着像个怪物，但对计算机来说，它跟2a加1的计算量几乎是一样的；第二，直觉能帮我们简化问题，但在严格证明的时候还得守着严谨才行；第三，学会把零散的题目归约成通解才是最聪明的学习法子。 把这道题记在本子上备用吧。下次再碰上a乘以sinx加上sin2x的各种变形题，你就能马上调出它的“终极答案”，让复杂的难题瞬间降维。